馬克思曾經說過，一門學科，只有當它能夠成功運用數學的時候，才有可能成為一門真正的科學。的確，數學總是以其簡潔性，明確性走在所有科學的前列，任何學科都把能否能夠成功運用數學作為自身是否成熟的標誌。
然而，混沌的世界卻不像以往的數學那麼單純。
在混沌的世界中，今天並不能預測明天，如果我們以簡單的線性模式去理解世界，最終一定會被碰得頭破血流。
股票市場充斥著無數的交易者，他們是各行各業的精英，整體上看，無論是處世能力，專業學曆，還是智商情商，都顯然要高於任何其他行業。但是，就是在這樣的一個市場，卻天天在上演著悲劇：每十個交易者當中，有九個處於虧損狀態。
如果我們利用某個關係函數，比如Y=F（X），代入一個X算出一個Y，又將Y作為新的X再次計算下一個Y………如此不斷，這種方法在數學上稱為迭代，具體的表達式是：
Xn =F(X n-1 )，n=1,2,3……..
通常，數學家們只研究[0，1]區間到[0，1]區間-------不僅Xn-1在[0，1]區間，而且Xn也在[0，1]區間-------的迭代，因為任何[a，b]區間到[a，b]區間的迭代，都可以通過“變量轉換”-------將X’=（x-a）/（b-a）看成是迭代變量------轉換成[0，1]區間到[0，1]區間的迭代。
[0，1]區間之所以受到非常重視，是因為[0，1]區間的每一個數字都具有“占
有多少的份額”的直觀意義，比如0.3，就是30%。
看一個具體的迭代例子：Xn=Axn-1(1-Xn-1)，其中A是常數。這是一個生態學的有關公式，表達的是某個物種的規模變化規律。
如果我們假設A=1.5，X是一個小於1的數字，比如0.1，那末數次迭代的資料是：
迭代次數 Xn-1 Xn
1 0.1 0.135
2 0.135 0.175
3 0.175 0.217
4 0.217 0.225
5 0.225 0.285
6 0.285 0.305
7 0.305 0.318
8 0.318 0.325
…………………………….
……………………………..
20 0.333 0.333
可以看到，大約經過20次迭代以後，Xn穩定在1/3左右。
混沌中的數學 ---2
在證券市場，幾乎每個人都知道費波那齊數列（Fibonacci
Series），其實這也是一個經過迭代而產生的數列，不過稍微有些復雜，其表達式是：
Xn+2=Xn+Xn+1 ，n=2,3；
整個數列是：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…………..即每一個數字為前面兩個數字的和。
費波那齊數列有一個特性，那就是：如果我們把費波那齊數列中的每一個數字和隨後的數字相比，就會得到一系列越來越接近無理數0.618………….的數字。比如：
2/3=0.66666…..
3/5=0.6
5/8=0.625
8/13=0.6154
…………….
55/89=0.61798
89/144=0.61805
……………….
因此，我們也可以稱費波那齊數列為一個等比數列，這個等比數列的公比q無限趨近於無理數0.618………….數學上稱公比q向0.618……收斂--------當費波那齊數列中相比的數字逐步增大的時候，公比q一大一小地，向0.618………無限接近。
0.618…..，又稱為黃金數字。據說，任何物體形狀如何符合這個數字比例，會給人以美感和舒適感。這個數字還有其他一些特點，比如：1/0.618=1.618；0.618*0.618=0.382=1-0.618等等。
在數學上，一個迭代的公式被看做是一個動力系統，點由於迭代而產生的變化和發展情況是動力系統研究的對象。同樣，股票價格運動也是一個動力系統，其動力源泉是交易行為，或者說成交量，因此我們說，趨勢（價格運動）是由一系列的交易迭代而形成的------在不同價格上的不同的成交量，就是數學中迭代的點，而價格運動本身就是迭代的結果。
事實上，在股票市場中，並沒有嚴格意義上的數學迭代，或者說，沒有數學意義上那麼公式化的迭代，但是毫無疑問，今天所有的交易，都會被計算到以前所有的交易中，推動今後的價格的發展變化-------也就是說，被迭代了，只是在某一個周期，趨勢可能符合某一個迭代公式，而在其他周期時，則符合其他的迭代公式。
作為非理論研究者，或許我們沒有必要去尋找所謂的證券迭代通項公式，但是知道其數學原理卻是應該的。
在《混沌的啟示》中我們說過，證券市場是一個混沌的市場，想找出證券市場的迭代通項公式，絕非一件易事，如果有幸能夠找到其中一個、兩個，已經是非常難得了，何況，也許這個所謂的通項公式根本就不存在呢！
二：周期
把一個X放到F（X）中迭代，得到一個新的X’=F（X），一般地說，X和X’是不會相同的。但是有時候會有這樣的情況，一個X迭代以後，得到的X’，和原來的X是相等的，就是說，X經過迭代以後，並沒有變化，新的X’=X，還在原來的位置，這樣的X叫做迭代函數F（X）的不動點。
混沌中的數學 ---3
隨便想一想就知道：有些迭代函數有不動點，而有些則沒有。
但是，[0，1]區間到[0，1]區間的迭代一定有不動點（這一點可以通過微積分中的介值定理證明，由於不動點並非本節重點，因此這裡不做證明過程）。
如果從X0開始按照公式Xn=F（Xn-1）迭代，迭代K次以後就回到原來的地方X0，但是迭代次數小於K時都不能回到X0，那麼，X0就叫做函數F（X）的周期點，K就是函數F（X）的周期。
我們以周期3為例做詳細解釋。
Xn=F（Xn-1）是[0，1]區間到[0，1]區間的迭代。假如X0是這個迭代的3周期點，那麼，X1=F（X0）≠X0，X2=F（X1）≠X1≠X0，而X3=F（X2）=X0，把這些點畫在圖中，可以看到：
X0經過一次迭代到X1，X1經過一次迭代到X2，X2經過一次迭代又回到X0，就是說，X0經過三次迭代，又回到原來的地方。
就是因為X0經過三次迭代回到原位，所以X0叫3周期點。
很顯然，我們還能夠注意到，X1也是3周期點，因為X1同樣可以經過三次迭代后回來，同樣，X2也是3周期點。所以，周期3的函數，至少有3個3周期點。
現在你明白了，所謂的不動點，實際上就是1周期點。
如果你是一名證券交易參與者，我不知道上面的文章會給你什麼啟示，對於我來說，產生了如下的感想：
既然價格趨勢由迭代產生，那麼必然會產生周期，盡管周期可能非常難以琢磨和尋找，但是它的確是存在的，這一點，從那些運用周期理論的交易專家身上或許會得到更多的啟發-------他們根本不關注價格變化而是僅僅關注價格周期和時間周期，並因此而取得令人敬佩的交易成績。
當然，我相信不是每一個使用周期的交易者都是專家，也不是每一個周期交易專家都懂得其中的數學原理-------證券市場的一個特點是：理論不能說明什麼，獲利才是硬道理。但是有些人號稱能夠將周期理論做改進，捕捉到市場每天的高低點，每天獲利N%，就真的有些嘩眾取寵，胡說八道了。
可能很多交易者僅僅聽說過時間周期，沒有聽說過價格周期，其實很簡單，既然有橫向的時間周期，那麼就必然有縱向的價格周期，從某個角度講，價格周期可以理解為在某一時間段內價格的運動範圍，但是並不完全相同。
由於周期本身相當虛幻和深奧，這里不做深入探討，我們會在《杠杆操作法中級------穩定獲利》中繼續討論。
三：沙可夫斯基定理和周期倍增分叉現象
蘇聯數學家沙可夫斯基將所有的自然數按照如下的次序做了排列：
3，5，7，9，11，13，15，17，……………..；
3x2，5x2，7x2，9x2，11x2…………….；
3x22，5x22，7x22，9x22，11x22…………..；
3x23，5x23，7x23，9x23，11x23…………….；
…………………………………
………….26，25，24，23，22，21，20。
這個次序現在被稱為沙可夫斯基次序。
對於連續的區間迭代，沙可夫斯基證明了：假設M在沙可夫斯基次序中，排在N的前面，那麼，如果有M周期點的話，就一定有N周期點。
這就是沙可夫斯基定理。
根據沙可夫斯基定理我們可以知道，如果一個函數有3周期，由於3在沙可夫斯基次序中處於最前面，那麼這個函數就會有任意自然數的周期。
混沌中的數學 ---4
周期倍增分叉現象：
在函數Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….
當中，隨著參數A的增大，先是只有周期1的穩定解；當A增大到A1時，周期1的穩定解分叉為2個周期2的穩定解；當A增大到A2時，2個周期2的穩定解又分叉為4個周期4的穩定解…………當A增大到Am時，周期2m-1的穩定解又分叉為2m個周期2m的穩定解…………如此繼續。
沙可夫斯基定理和周期倍增分叉現象，在實際的證券交易中也許並沒有什麼意義，這里著墨，主要是為了介紹“數學對混沌的定義”和菲根鮑姆普適常數。
四：數學對混沌的定義
1975年，華裔數學家李天岩和他的導師在《美國數學月刊》中發表了一篇論文，題目是《Period Three Implies
Chaos》-------《周期3意味著混沌》，用數學的方法解釋了“混沌（Chaos）”，並且第一次使用了Chaos這個詞。
李天岩在論文《Period Three Implies
Chaos》中，不僅再次證明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然數周期”的特例（在此之前，李天岩或許並不知道沙可夫斯基定理，因為沙可夫斯基本人並沒有什麼名氣，也許可以這麼說，沙可夫斯基反而是因為李天岩才名揚四海的），而且明確地刻畫了“混沌（Chaos）”的數學含義：
設函數F（X）是[0，1]區間到[0，1]區間的連續迭代函數。如果F（X）有如 下性質，就說它有混沌現象：
（1） F（X）的周期無上限；
（2） 在區間[0，1]中有一個不可數的子集S，使得：
① 對於S中任意不同的兩點X0和Y0，考慮迭代序列Xn=F（Xn-1）和
Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，當n趨於無窮大的時候，它們之間的距離|Xn-Yn|的上極限大於0，下極限等於0；
②
對於X0是S中的一個任意點而Y0是迭代的任意一個周期點，考慮迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，當n趨於無窮大時，它們之間的距離|Xn-Yn|的上極限大於0。
對於非數學專業的交易者來說，恐怕會被混沌的數學定義搞得暈頭轉向，說實話，我也是稀里糊涂的。向前數大約1200字，是我請了9個搞數學的朋友，喝了7次茶才寫出來的，不過，這7茶可沒有白喝，我雖然沒有明白數學對混沌定義的深刻含義，但是我明白了一個非常簡單的道理，那就是：
周期3導致了混沌。
如果你想使用一種工具，或者建立一個系統，那麼，首先就是要了解這種工具或系統的原理和特性，這是必須的一步。這一步沒有堅實的基礎，以後所有的都是空中樓閣。
我們在《混沌的啟示》一文中，初步介紹了證券市場的結構------分形------一個由五支K線組成的形態，表示市場趨勢受到了壓力或支持。一個分形實際上，在形成以後，最重要的是3支K線，即後面的3支K線。以向上分形為例，在趨勢向上的過程的高點以後，如果僅出現一支K線沒有新高，並不能說明什麼，市場可能是停頓，也可能是繼續前進，但是一旦連續兩個周期沒有出現新高點，和有高點的那一周期，就形成了一個3周期的結構。這個3周期所形成的結構，就可以理解為周期3-------一個導致混沌的數字。
當然，周期3未必就一定導致混沌，因此，我們也把分形分成各種不同類型，比如堅定的分形、猶豫的分形和等待的分形。
另外一個非常重要的觀點是：沒有分形同樣是一種結構------趨勢運動有秩序的結構------這個結構簡單流暢，是導致我們獲利結構，是我們喜歡的結構。
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事實證明，無論在我國市場，還是外國市場，分形，或者說周期3，都一種有效的結構、一個有與其他數字有本質區別的數字，至少表現在：
1、 周期3導致混沌；
2、 周期3是第一個可能導致混沌的周期；
3、 有周期3，就有任意周期；
4、 分形涵蓋了所有的市場趨勢反轉；
5、 在沒有出現分形的時候，市場趨勢不可能反轉，只可能延續；
6、 兩個逆向分形所形成的杠杆，和分形的周期3有“自我相似”，以最簡潔的方式體現出價格趨勢的自組織系統及其運動方式；
7、 周期3最具有實戰價值。
按照拉瑞-威廉的“環形”概念，同樣可以得出周期3的結論，但是我認為，環形的變化過於復雜，而且沒有分形穩定：在大多數時候，會導致交易者過量交易（Over Trade）。
目前國內證券市場的波動相對安穩，並不劇烈，而且交易費用也不理想，頻繁交易不是一種好的選擇。
五：菲根鮑姆普適常數
在混沌理論中，菲根鮑姆常數也是一個重要內容。
美國康奈爾大學的物理學家菲根鮑姆（Feigenbaum），發現了被譽為“本世紀最偉大”的發現--------在周期倍增分叉現象中更深層次的規律-----從而揭示出系統從有秩序轉向混沌的祕密。
菲根鮑姆發現：在周期倍增分叉過程中，隨著分叉次數M的增加，相鄰的兩個分叉點λm和λm+1的間距Δm=λm+1-λm組成一個漸進的等比數列，分叉寬度ξm也組成一個漸進的等比數列，並且這兩個等比數列都有極限。菲根鮑姆測出了這兩個等比數列的公比，它們的倒數分別叫做菲根鮑姆常數δ和菲根鮑姆常數α，它們分別是：δ=4.669201……..，α=2.50290…………。
據菲根鮑姆自己說，周期倍增分叉現象和規律的發現，大大地改變了人類對宇宙的認識。
一個系統是否穩定，對我們是一個非常非常重要的問題。
簡單的說，如果現在的情況差別不大，隨著系統的運行，將來的差別也不大，那麼就說系統是穩定的，否則就是不穩定的。但是，穩定和不穩定之間，並沒有不可逾越的鴻溝。
菲根鮑姆告訴我們，通向混沌之路，並非是混沌的，而且，這些路是可能探索的。
前面我們說過，在證券市場中，每一個趨勢都是一個自組織系統，理解成複雜的數學迭代也未嘗不可。作為理論研究者，也許會去試圖尋找其中的“菲根鮑姆常數”，但是作為交易者，則需要的是對理論的深刻理解，然後用來指導實踐，並以此獲利。
混沌理論中的數學，內容要遠比我寫的多得多。這里做的基礎介紹，對於數學專業的交易者來說太淺，對於非數學專業的交易者，可能又太深，不過我能說的，也只有這麼多了。
在證券市場，對於交易者來說，我覺得重要的不是知識本身，而是對知識的思考、理解和應用。
市場上有許多“高手”，
狹隘地執著於技術分析或基礎分析，更有甚者，執著於狂妄的幻想，可以在某些時刻，甚至是某些時間，在市場中獲利。可是，這並非是長久之計。
唐能通（幻想形）就是個很好的例子。當市場處於強大的牛市的時候，無論怎麼買都是對的：漲可以追漲，跌可以攤低成本。於是當熊市來臨的時候，他失蹤了。
作為股民，在一個僅僅幾十年的市場中，我們經歷了太多的滄桑（或許美國人也同樣如此）：我們還需要學習很多，我們還需要理解很多，我們還需要辨別很多。
願真理與我們同在。
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